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添加时间: 2017-7-12 19:41:12
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资源简介:

恒成立问题——数形结合法
一、基础知识:
1、函数的不等关系与图像特征:
(1)若,均有的图像始终在的下方
(2)若,均有的图像始终在的上方
2、在作图前,可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形,转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色,如斜率,截距等
4、作图时可“先静再动”,先作常系数的函数的图像,再做含参数函数的图象(往往随参数的不同取值而发生变化)
5、在作图时,要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合?利用数形结合解决恒成立问题,往往具备以下几个特点:
(1)所给的不等式运用代数手段变形比较复杂,比如分段函数,或者定义域含参等,而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图
(2)所求的参数在图像中具备一定的几何含义
(3)题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征
二、典型例题:
例1:已知不等式在上恒成立,则实数的取值范围是_________
思路:本题难于进行参变分离,考虑数形结合解决,先作出的图像,观察图像
上的抛物线,最大值只能在边界处产生,所以,再解出的范围即可
例6:已知函数,设关于的不等式的解集为,若,则实数的取值范围是_____________
思路:首先理解条件,即时,不等式恒成立,可判断出函数为奇函数,故先作出的图像,即,参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论:当时,单调递增,且为向左平移个单位,观察图像可得不存在满足条件的,当时,开口向下,且为向右平移个单位,观察可得只需,,即可保证,的图像始终在的下方。解得:;当时,代入验证不符题意。
答案:
小炼有话说:(1)注意本题中“恒成立问题”的隐含标志:子集关系
(2)注意函数奇偶性对作图的影响
(2)本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口,这要求我们对于含参的函数(尤其是直线),要看是否具备过定点的特征。
例9:(2015山东烟台高三一模)已知,不等式在上恒成立,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
思路:本题有两个难点,一是所给区间含参,一个是与很难确定其范围,从而与无法化成解析式。但由于所给不等式可视为两个函数值的大小,且分段函数图像易于作出,所以考虑作出图像,看是否存在解题的突破口。通过图像可以看出虽然是分段函数,但是图像连续且单调递减。所以是上的减函数。那么无论与位于哪个区间,由及单调性均可得到:只需,所以,解得
答案:A
例10:已知函数是定义在上的奇函数,当时,,若,则实数的取值范围是_____________
单位所得,相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找满足的条件。先将写为分段函数形式:,作出正半轴图像后再根据奇函数特点,关于原点对称作出负半轴图像。恒成立,意味着的图像向右平移一个单位后,其图像恒在的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度,所以可得:
答案:

 

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